Статистические игры и принятие решений в условиях неопределенности. Порядок применения критерия сэвиджа Пример применения критерия Сэвиджа

Критерий Сэвиджа был предложен Леонард Джимми Сэвиджем в 1954 году.

Суть этого критерия заключается в нахождении минимального риска. При выборе решения по этому критерию сначала матрице функции полезности (эффективности) сопоставляется матрица сожалений

элементы которой отражают убытки от ошибочного действия, т.е. выгоду, упущенную в результате принятия i-го решения в j-м состоянии. Затем по матрице D выбирается решение по пессимистическому критерию Вальда, дающее наименьшее значение максимального сожаления.

Условиями неопределённости считается ситуация, когда последствия принимаемых решений неизвестны, и можно лишь приблизительно их оценить. Для принятия решения используются различные критерии, задача которых - найти наилучшее решение максимизирующее возможную прибыль и минимизирующее возможный убыток.

Критерий заключается в следующем:

1. Строится матрица стратегий (платёжная матрица). Столбцы соответствуют возможным исходам. Строки соответствуют выбираемым стратегиям. В ячейки записывается ожидаемый результат при данном исходе и при данной выбранной стратегии.
2. Строится матрица сожаления (матрица рисков). В ячейках матрицы величина сожаления - разница между максимальным результатом при данном исходе (максимальном числе в данном столбце) и результатом при выбранной стратегии. Сожаление показывает величину, теряемую при принятии неверного решения.
3. Минимаксное решение соответствует стратегии, при которой максимальное сожаление минимально. Для этого для каждой стратегии (в каждой строке) ищут максимальную величину сожаления. И выбирают то решение (строку), максимальное сожаление которого минимально.

Для нашего примера отыскиваем матрицу D, вычитая (-121) из первого столбца матрицы полезности, 62 из второго и т.д.

Наибольшее значение среди минимальных элементов строк здесь равно max [-405.75, -270.5, -135.25, -143.25] = -135.25 млн.руб. и, покупая 40 станков, мы уверены, что в худшем случае убытки не превысят 135.25 млн.руб.

Таким образом, различные критерии приводят к различным выводам:

1) по критерию Лапласа приобретать 40 станков,

2) по критерию Вальда - 20 станков,

3) по критерию Гурвица - 20 при пессимистическом настроении и 50 в состоянии полного оптимизма,

4) по критерию Сэвиджа - 40 станков.

Возможность выбора критерия дает свободу лицам, принимающим экономические решения, при условии, что они располагают достаточными средствами для постановки подобной задачи. Всякий критерий должен согласовываться с намерениями решающего задачу и соответствовать его характеру, знаниям и убеждениям.

Существует обширная литература по теории игр и статистических решений.

37. Методы принятия инвестиционно-финансовых решений в условиях определенно­сти.

Это самый простой случай: известно количество возможных ситуаций (вариантов) и их исходы. Нужно выбрать один из возможных вариантов. Степень сложности процедуры выбора в данном случае определяется лишь количеством альтернативных вариантов. Рассмотрим две возможные ситуации:

а) Имеется два возможных варианта. В данном случае аналитик должен выбрать (или рекомендовать к выбору) один из двух возможных вариантов. Последовательность действий следующая:

Определяется критерий, по которому будет делаться выбор;

Методом «прямого счета» исчисляются значения критерия для сравниваемых вариантов;

Возможны различные методы решения этой задачи. Как правило, они подразделяются на две группы:

Методы, основанные на дисконтированных оценках;

Методы, основанные на учетных оценках.

Первая группа методов основывается на следующей идее. Денежные доходы, поступающие на предприятие в различные моменты времени, не должны суммироваться непосредственно; можно суммировать лишь элементы приведенного потока. Если обозначить F1,F2,....,Fn коэффициент дисконтирования прогнозируемый денежный поток по годам, то i-й элемент приведенного денежного потока Рi рассчитывается по формуле:

P i = F i / (1+ r) i

где r- коэфициент дисконтирования.

Назначение коэффициента дисконтирования состоит во временной упорядоченности будущих денежных поступлений (доходов) и приведении их к текущему моменту времени. Экономический смысл этого представления в следующем: значимость прогнозируемой величины денежных поступлений через i лет (Fi) с позиции текущего момента будет меньше или равна Pi. Это означает так же, что для инвестора сумма Pi в данный момент времени и сумма Fi через i лет одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить в сопоставимый вид оценку будущих доходов, ожидаемых к поступлению в течении ряда лет. В этом случае коэффициент дисконтирования численно равен процентной ставке, устанавливаемой инвестором, т.е. тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

Итак последовательность действий аналитика такова (расчеты выполняются для каждого альтернативного варианта):

Рассчитывается величина требуемых инвестиций (экспертная оценка), IC;

Устанавливается значение коэффициента дисконтирования, r;

Определяются элементы приведенного потока, Pi;

Рассчитывается чистый приведенный эффект (NPV) по формуле: NPV=E*Pi-IC

Сравниваются значения NPV;

Предпочтение отдается тому варианту, который имеет больший NPV (отрицательное значение NPV свидетельствует об экономической нецелесообразности данного варианта).

Вторая группа методов продолжает использование в расчетах прогнозных значений F. Один из самых простых методов этой группы - расчет срока окупаемости инвестиции.Последовательность действий аналитика в этом случае такова:

Расчитывается величина требуемых инвестиций, IC;

Оценивается прибыль (денежные поступления) по годам, Fi;

Выбирается тот вариант, кумулятивная прибыль по которому за меньшее число лет окупит сделанные инвестиции.

б) Число альтернативных вариантов больше двух. Процедурная сторона анализа существенно усложняется из-за множественности вариантов, техника «прямого счета» в этом случае практически не применима. Наиболее удобный вычислительный аппарат - методы оптимального программирования (в данном случае этот термин означает «планирование»). Этих методов много (линейное, нелинейное, динамическое и пр.), но на практике в экономических исследованиях относительную известность получило лишь линейное программирование. В частности рассмотрим транспортную задачу как пример выбора оптимального варианта из набора альтернативных. Суть задачи состоит в следующем.

Имеется n пунктов производства некоторой продукции (а1,а2,...,аn) и k пунктов ее потребления (b1,b2,....,bk), где ai - объем выпуска продукции i - го пункта производства, bj - объем потребления j - го пункта потребления. Рассматривается наиболее простая, так называемая “закрытая задача ”, когда суммарные объемы производства и потребления равны. Пусть cij - затраты на перевозку единицы продукции. Требуется найти наиболее рациональную схему прикрепления поставщиков к потребителям, минимизирующую суммарные затраты по транспортировке продукции. Очевидно, что число альтернативных вариантов здесь может быть очень большим, что исключает применение метода “ прямого счета ”. Итак необходимо решить следующую задачу:

ΣΣCg Xg→ min

Σ Xg = bj Σ Xg = bj Xg→ 0

Известны различные способы решения этой задачи -распределительный метод потенциалов и др. Как правило для расчетов применяется ЭВМ.

При проведении анализа в условиях определенности могут успешно применяться методы машинной имитации, предполагающие множественные расчеты на ЭВМ. В этом случае строится имитационная модель объекта или процесса (компьютерная программа), содержащая b-е число факторов и переменных, значения которых в разных комбинациях подвергается варьированию. Таким образом машинная имитация - это эксперимент, но не в реальных, а в искусственных условиях. По результатам этого эксперимента отбирается один или несколько вариантов, являющихся базовыми для принятия окончательного решения на основе дополнительных формальных и неформальных критериев.

Критерий Сэвиджа использует матрицу рисков || r ij ||. Элементы данной матрицы можно определить по формулам (23), (24), ко­торые перепишем в следующем виде:

Это означает, что r ij есть разность между наилучшим значени­ем в столбце i и значениями V ji при том же i. Неза­висимо от того, является ли V ji доходом (выигрышем) или потеря­ми (затратами), r ji в обоих случаях определяет величину потерь ли­ца, принимающего решение. Следовательно, можно применять к r ji только минимаксный критерий. Критерий Сэвиджа рекоменду­ет в условиях неопределенности выбирать ту стратегию Rj, при ко­торой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Пример 6. Рассмотрим пример 4. Заданная матрица опреде­ляет потери (затраты). По формуле (31) вычислим элементы мат­рицы рисков || r ij ||:

Полученные результаты вычислений с использованием крите­рия минимального риска Сэвиджа оформим в следующей таблице:

Введение величины риска r ji , привело к выбору первой страте­гии R 1 , обеспечивающей наименьшие потери (затраты) в самой не­благоприятной ситуации (когда риск максимален).

Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями из­бежать большого риска при выборе стратегии, а значит, избежать большего проигрыша (потерь).

4.Критерий Гурвица.

Критерий Гурвицаоснован на следующих двух предположе­ниях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 - α) и в самом выгодном состоянии с вероятно­стью α, где α - коэффициент доверия. Если результат V j i - прибыль, полезность, доход и т. п., то критерий Гурвица записыва­ется так:

Когда V ji представляет затраты (потери), то выбирают действие, дающее

Если α = 0, получим пессимистический критерий Вальда.

Если α = 1, то приходим к решающему правилу вида max max V ji , или к так называемой стратегии «здорового оптими­ста», т. е. критерий слишком оптимистичный.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями край­него пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 - α) и α, где 0≤α≤1. Значение α от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности α = 0,5 представляется наиболее разумной.

Пример 7. Критерий Гурвица используем в примере 4. Поло­жим α = 0,5. Результаты необходимых вычислений приведены ниже:

Оптимальное решение заключается в выборе W.

Таким образом, в примере предстоит сделать выбор, какое из возможных решений предпочтительнее:

по критерию Лапласа - выбор стратегии R 2 ,

по критерию Вальда - выбор стратегии R 3 ;

по критерию Сэвиджа - выбор стратегии R 1 ;

по критерию Гурвица при α = 0,5 - выбор стратегии R 1 , а ес­ли лицо, принимающее решение, - пессимист (α = 0), то выбор стратегии R 3 .

Это определяется выбором соответствующего критерия (Лапла­са, Вальда, Сэвиджа или Гурвица).

Выбор критерия принятия решений в условиях неопределенно­сти является наиболее сложным и ответственным этапом в иссле­довании операций. При этом не существует каких-либо общих со­ветов или рекомендаций. Выбор критерия должно производить ли­цо, принимающее решение (ЛПР), с учетом конкретной специфи­ки решаемой задачи и в соответствии со своими целями, а также опираясь на прошлый опыт и собственную интуицию.

В частности, если даже минимальный риск недопустим, то сле­дует применять критерий Вальда. Если, наоборот, определенный риск вполне приемлем и ЛПР намерено вложить в некоторое пред­приятие столько средств, чтобы потом оно не сожалело, что вложе­но слишком мало, то выбирают критерий Сэвиджа.

Задание для самостоятельного решения : написать программу на языке С++ для выбора наиболее эффективного проекта легкового автомобиля для производства, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Намечается крупномасштабное производство легковых автомобилей. Имеются четыре варианта проекта автомобиля

Определена экономическая эффективность V ji каждого проекта в зависимости от рентабельности производства. По истечению трех сроков рассматриваются как некоторые состояния среды (природы). Значения экономической эффективности для различных проектов и состояний природы приведены в следующей таблице (д.е.):

	Состояния природы

Требуется выбрать лучший проект для производства, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица при ɑ=0,1. Сравните решения и сделайте выводы.

Принятие решений в условиях неопределённости

1. Максиминный критерий Вальда.

2. Критерий Сэвиджа (минимаксного риска).

3. Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма).

1. Максиминный критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма)

(«рассчитывай на худшее»)

В группу критериев выбора оптимальной стратегии статистика, применяемых при неизвестных априорных вероятностях состояний природы , входят критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица . Они используют анализ платежной матрицы либо матрицы рисков.

Если распределение вероятностей будущих состояний природы неизвестно , то вся информация о природе сводится к перечню ее возможных состояний .

Максиминный критерий Вальда – это критерий крайнего пессимизма, или критерий осторожного наблюдателя. Его можно сформулировать как для чистых, так и для смешанных стратегий.

Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма , так как статистик предполагает, что природа реализует такие состояния, при которых величина его выигрыша принимает наименьшее значение.

Критерий тождественен максиминному (пессимистическому) критерию, используемому при решении матричных игр в чистых стратегиях.

Из каждой строки выбираются минимальные элементы, т.е. которые соответствуют наихудшему результату ЛПР при известных состояниях «природы» . Затем выбирается стратегия ЛПР, соответствующая максимальному элементу из отобранных минимальных :

. (1)

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск, поскольку ЛПР не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется.

Применение данного критерия оправданно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими признаками:

вероятности состояний «природы» неизвестны;

решение реализуется только один раз или малое количество раз;

полная недопустимость риска.

Таким образом, оптимальной по критерию Вальда считается чистая стратегия , которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш. Значит, оптимальной будет максиминная чистая стратегия , а максимальным выигрышем – нижняя чистая цена игры в парной игре с нулевой суммой.

Пример 1.

Игра "Поставщик".

Выпуск продукции фирмы существенно зависит от скоропортящегося материала, например, молока или ягод, поставляемого партиями стоимостью 100ед.

Если поставка не прибывает в срок, фирма теряет 400 ед. от недовыпуска продукции.

Фирма может послать к поставщику свой транспорт (расходы 50 ед.), однако опыт показывает, что в половине случаев транспорт возвращается ни с чем.

Можно увеличить вероятность получения материала до 80%, если предварительно послать своего представителя, но расходы увеличатся еще на 50 ед.

Существует возможность приобретать более дорогой (на 50%) материал-заменитель у другого, вполне надежного поставщика, однако, кроме расходов на транспорт (50 ед.) возможны дополнительные издержки хранения материала в размере 30 ед., если его количество на складе превысит допустимую норму, равную одной партии.

Какой стратегии должен придерживаться завод в сложившейся ситуации?

Решение

У природы два состояния: поставщик надежный и поставщик ненадежный. У фирмы - четыре стратегии: 1) не осуществлять никаких дополнительных действий, 2) послать к поставщику свой транспорт, 3) послать к поставщику представителя и транспорт, 4) купить и привезти материал-заменитель от другого поставщика.

Составим таблицу расчетов:

	Затраты и убытки фирмы-изготовителя
Ситуация	Стоимость материала	Недовыпуск продукции	Транспорт	Командировочные расходы	Издержки хранения	Общая сумма

Решение

На основе полученных результатов вычислений можно составить платежную матрицу:

Ответ . Нужно придерживаться третьей стратегии и затраты не превысят 260 ед., если послать к поставщику представителя и транспорт.

1 . Рассмотренный способ поиска оптимального решения есть критерий Вальда (максиминный критерий принятия решения). Выбирается решение, гарантирующее получение выигрыша не меньше, чем maxmin:

ед.

Применяя этот критерий мы представляем на месте природы активного и злонамеренного противника. Это пессимистичный подход .

2. Максимаксный критерий . Самый благоприятный случай:

ед.

Если фирма ничего не предпримет, то потратит не больше 100 единиц. Это критерий абсолютного оптимизма .

Критерий Вальда для смешанных стратегий

Оптимальной считается та смешанная стратегия статистика , при которой минимальный средний выигрыш будет максимальным: . (2)

Критерий Вальда ориентируют статистика на самые неблагоприятные состояния природы, то есть выражают пессимистическую оценку ситуации.

2. Критерий Сэвиджа (минимаксного риска )

На практике, выбирая одно из возможных решений, часто останавливаются на том, осуществление которого приведет к наименее тяжелым последствиям , если выбор окажется ошибочным. Этот подход к выбору решения математически был сформулирован американским статистиком Сэвиджем в 1954 году и получил название принципа Сэвиджа . Он особенно удобен для экономических задач и часто применяется для выбора решений в играх человека с природой.

По принципу Сэвиджа каждое решение характеризуется величиной дополнительных потерь, которые возникают при реализации этого решения , по сравнению с реализацией решения, правильного при данном состоянии природы. Естественно, что правильное решение не влечет за собой никаких дополнительных потерь, и их величина равна нулю.

При выборе решения, наилучшим образом соответствующего различным состояниям природы, следует принимать во внимание только эти дополнительные потери, которые по существу, будут являться следствием ошибок выбора.

Для решения задачи строится так называемая «матрица рисков », элементы которой показывают, какой убыток понесет игрок (ЛПР) в результате выбора неоптимального варианта решения.

Напомним, что Риском игрока при выборе стратегии в условиях (состояниях) природы называется разность между максимальным выигрышем, который можно получить в этих условиях, и выигрышем, который получит игрок в тех же условиях, применяя стратегию .

Критерий Сэвиджа – это критерий минимаксного риска, минимизации «сожалений». Этот критерий, как критерий Вальда, является максимально осторожным и пессимистическим.

В критерии Сэвиджа пессимизм проявляется по-другому: худшим считается не минимальный выигрыш, а максимальная потеря выигрыша по сравнению с тем, что можно было бы достичь в данных условиях (максимальный риск).

Критерий Сэвиджа ориентируется не на результат, а на риск (потери или штрафы) .

В качестве оптимальной выбирается стратегия, при которой величина потерь в наихудших условиях минимальна. Критерий Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту стратегию, которая минимизирует максимальный риск:

Требования , предъявляемые к ситуации, в которой принимается решение по критерию Сэвиджа, совпадают с требованием к использованию критерия Вальда. Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, ориентирует статистика на самые неблагоприятные состояния природы.

Пример 2. Для задачи «Поставщик» минимакс риска достигается сразу при двух стратегиях А 2 и А 3:

Найти оптимальное решение игры , применяя критерий Сэвиджа.

Решение.

Ориентируемся на самые неблагоприятные состояния «природы». Вычислим риски статистика .

Для первого столбца:

Для второго столбца:

Для третьего столбца:

Запишем матрицу рисков .

Стратегии статистика

Определим в каждой строке наибольшее число – наибольший риск статистика , если он применяет стратегию , а природа меняет свои состояния , , . Дополним матрицу рисков последним столбцом «наибольшие риски».

Матрица рисков и наибольшие риски

Стратегии статистика				Наибольшие риски

Найдем наименьший риск: .

Значит, оптимальной стратегией по критерию Сэвиджа является стратегия .

4.3. Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма)

Критерий Гурвица – критерий обобщенного максимума, или пессимизма-оптимизма.

Представляется логичным, что при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации придерживаться некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего, благоприятного поведения природы.

Такой компромиссный вариант и был предложен Гурвицем. Согласно этому подходу для каждого решения необходимо определить линейную комбинацию min и max выигрыша и взять ту стратегию, для которой эта величина окажется наибольшей.

Этот критерий обеспечивает промежуточное решение между крайним оптимизмом и крайним пессимизмом , которое определяется по принципу:

. (4)

Число () - степень оптимизма , удовлетворяет условию и выбирается из субъективных соображений, особенностей среды, здравого смысла, исходя из опыта ЛПР, его отношения к риску и т.п. На выбор значения степени оптимизма оказывает влияние мера ответственности: чем серьезнее последствия ошибочных решений, тем больше желание принимающего решение застраховаться, то есть степень оптимизма  ближе к нулю.

Для каждой строки рассчитывается среднее взвешенное (с учетом выбранного значения ) наименьшего и наибольшего результатов, после чего выбирается строка с максимальным значением .

При имеем критерий крайнего оптимизма , т.е. отражает позицию азартного игрока, ожидающего наиболее благоприятное состояние среды.

При критерий Гурвица превращается в критерий крайнего пессимизма Вальда.

Если 0 промежуточное отношение ЛПР к возможным рискам. При желании подстраховаться в данной ситуации принимают близким к единице.

Выбор значения субъективен, а, следовательно, субъективен и выбор решения, что совершенно неизбежно в условиях неопределенности.

Чем опаснее ситуация, тем больше ЛПР стремится застраховать себя от возможных рисков , тем ближе к 0. А чем менее он азартен, тем ближе к 1.

Оптимальная по Гурвицу стратегия должна гарантировать статистику больший выигрыш по сравнению с выигрышем, принимаемым статистиком интуитивно или исходя из опыта.

Применение критерия Гурвица оправданно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется признаками :

вероятности состояний природы неизвестны;

решение реализуется малое количество решений;

допускается некоторый риск.

Пример 3. Найти оптимальное решение статистической игры, заданной платежной матрицей, применяя критерий Гурвица.

Решение.

Для применения критерия Гурвица нужно знать значение вероятности . Пусть, например, . Это означает, что событие «наименьший возможный выигрыш статистика » желаем сделать более правдоподобным ( близко к единице), то есть страхуемся от неблагоприятных ситуаций в игре. Тогда

Запишем все промежуточные результаты в таблицу.

Из последнего столбца таблицы видно, что максимальное значение равно (–7,2) и соответствует чистой стратегии ; она и будет оптимальной по критерию Гурвица.

Анализ практических ситуаций проводится по нескольким критериям одновременно , что позволяет глубже исследовать суть явления и выбрать наиболее обоснованное управленческое решение . В качестве оптимальной на основании совокупных исследований берется та стратегия, которая чаще других называлась оптимальной по всем критериям.

Выбор критерия (как и выбор принципа оптимальности) является наиболее трудной и ответственной задачей в теории принятия решений. Однако конкретная ситуация никогда не бывает настолько неопределенной, чтобы нельзя было получить хотя бы частичной информации относительно вероятностного распределения состояний природы. В этом случае, оценив распределение вероятностей состояний природы, применяют метод Байеса-Лапласа, либо проводят эксперимент, позволяющий уточнить поведение природы.

Контрольные вопросы

Что понимается под играми с природой?

Какими критериями пользуется статистик для определения своей оптимальной стратегии в условиях неопределенности?

Что понимается под риском игрока?

Поясните принципы использования моделей теории игр в экономических задачах в условиях неопределенности (игры с природой).

1. ус­ловиях неопределённости , использующий аппарат нечёткой...

2. Принятие решений в условиях неопределенности (5)

   Реферат >> Государство и право

   Ситуацией риска, а для другого – неопределённости . Риск принятия наихудшего решения в условиях , когда известны все исходные... потому, что в процессе принятия решений приходится осуществлять выбор в условиях неопределённости .. Процедуры и методы системного...

3. Принятие управленческих решений в условиях риска и неопределенности

   Реферат >> Менеджмент

   ... Принятие управленческих решений в условиях риска и неопределенности. План: Введение. Источники и виды неопределенности. Принятие решений в условиях неопределённости ... и виды неопределенности. Принятие

Наиболее просто решается задача о выборе решения в условиях неопределенности, когда нам хотя и неизвестны условия выполнения операции (состояние природы) но известны их вероятности:

В этом случае в качестве показателя эффективности, который мы стремимся обратить в максимум, естественно взять среднее значение, или математическое ожидание выигрыша, с учетом вероятностей всех возможных условий.

Обозначим это среднее значение для стратегии игрока через

или, короче,

Очевидно, есть не что иное, как взвешенное среднее выигрышей строки, взятых с кесами . В качестве оптимальной стратегии естественно выбрать ту из стратегий для которой величина обращается в максимум.

С помощью такого приема задача о выборе решения в условиях неопределенности превращается в задачу о выборе решения в условиях определенности, только принятое решение является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.

Пример 1. Планируется операция в заранее неизвестных метеорологических условиях; варианты этих условий: Согласно материалам метеосводок за много лет частоты (вероятности) этих вариантов равны соответственно:

Возможные варианты организации операции в различных метеоусловиях приносят различную выгоду. Значения «дохода» для каждого решения в разные условиях приведены в табл. 13.1

Таблица 13.1

В последней строке даны вероятности условий. Средние выигрыши приведены в последнем столбце. Из него видно, что оптимальной стратегией игрока является его стратегия дающая средний выигрыш (отмечен звездочкой).

При выборе оптимальной стратегии в неизвестных условиях с известными вероятностями можно пользоваться не только средним выигрышем

но и средним риском

который, разумеется, нужно обратить не в максимум, а в минимум.

Покажем, что стратегия, максимизирующая средний выигрыш совпадает со стратегией, минимизирующей средний риск Вычислим оба эти показателя и сложим их:

(13.2)

Эта сумма (среднее взвешенное значение максимумов столбцов) для данной матрицы есть величина постоянная; Обозначим ее С:

откуда средний риск равен

Очевидно, эта величина обращается в минимум тогда же, когда а, - в максимум, следовательно, стратегия, выбранная из условий минимального среднего риска, совпадает со стратегией, выбранной из условий максимального среднего выигрыша.

Заметим, что в случае, когда известны вероятности состояний природы при решении игры с природой всегда можно обойтись одними чистыми стратегиями, не применяя смешанных. Действительно, если мы будем применять какую-то смешанную стратегию

т. е. стратегию с вероятностью стратегию с вероятностью и т. д., то наш средний выигрыш, осредненный и по условиям (состояниям природы) и по нашим стратегиям, будет:

Это - взвешенное среднее выигрышей соответствующих нашим чистым стратегиям.

Но ясно, что любое среднее не может превосходить максимальной из осредняемых величин:

Поэтому применение смешанной стратегии с любыми вероятностями не может быть выгоднее для игрока, чем применение чистой стратегии .

Вероятности условий (состояний природы) могут быть определены из статистических данных, связанных с многократным выполнением подобных операций или просто с проведением наблюдений над состояниями природы. Например, если железной дороге за данный промежуток времени предстоит выполнить не вполне известный объем перевозок, то данные о распределении условий могут быть взяты из опыта прошлых лет. Если, как в предыдущем примере, успех операции зависит от метеоусловий, данные о них могут быть взяты из статистики метеосводок.

Однако часто встречаются случаи, когда, приступая к выполнению операции, мы не имеем представления о вероятностях состояний природы; все наши сведения сводятся к перечню вариантов состояний, а оценить их вероятности мы не можем. Так, например, вряд ли нам удастся разумно оценить вероятность того, что в течение ближайших k лет будет предложено и реализовано важное техническое изобретение.

Разумеется, в подобных случаях вероятности условий (состояний природы) могут быть оценены субъективно: некоторые из них представляются нам более, а другие - менее правдоподобными. Для того чтобы наши субъективные представления о большей или меньшей «правдоподобности» той или другой гипотезы превратить в численные оценки, могут применяться различные технические приемы. Так, если мы не можем предпочесть ни одной гипотезы, если они все для нас равноправны, то естественно назначить их вероятности равными друг другу:

Это - так называемый «принцип недостаточного основания» Лапласа. Другой часто встречающийся случай - когда мы имеем представление о том, какие условия более вероятны, а какие - менее, т. е. можем расположить имеющиеся гипотезы в порядке убывания их правдоподобности: всего правдоподобнее первая гипотеза (ПО, затем вторая ) менее всего правдоподобна гипотеза (). Однако, насколько одна из них вероятнее другой - мы не знаем. В этом случае можно, например, назначить вероятности гипотез пропорциональными членам убывающей арифметической прогрессии:

или, учитывая, что

Иногда удается, исходя из опыта и здравого смысла, оценить и более тонкие различия между степенями правдоподобия гипотез.

Подобные методы субъективной оценки «вероятности-правдоподобности» разных гипотез о состоянии природы могут иногда помочь при выборе решения. Однако нельзя забывать, что «оптимальное решени выбранное на основе субъективных вероятностей, неизбежно окажется тоже субъективным. Степень субъективности решения можно уменьшить, если вместо вероятностей назначенных произвольно одним лицом, ввести средние из таких вероятностей, назначенных, независимо друг от друга, группой квалифицированных лиц («экспертов»). Метод опроса экспертов вообще широко применяется в современной науке, когда речь идет об оценке неопределенной ситуации (например, в футурологии). Опыт применения подобных методов учит, что зачастую оценки экспертов (принятые независимо одним от другого) оказываются далеко не столь разноречивыми, как это можно было предположить заранее, и вывести из них некоторые предпосылки для принятия разумного решения вполне возможно.

Выше мы осветили вопрос о выборе решения на основе объективно вычисленных или субъективно назначенных вероятностей состояний природы. Этот подход в теории решений - не единственный. Кроме него существуют еще несколько «критериев» или подходов к выбору оптимального решения в условиях неопределенности. Остановимся на некоторых из них.

1. Максиминный критерий Вальда

Согласно этому критерию в качестве оптимальной выбирается та стратегия игрока А, при которой минимальный выигрыш максимален, т. е. стратегия, гарантирующая при любых условиях выигрыш, не меньший, чем максимин:

(13.4)

Если руководствоваться этим критерием, надо всегда ориентироваться на худшие условия и выбирать ту стратегию, Для которой в худших условиях выигрыш максимален. Пользуясь таким критерием в играх с природой, мы как бы ставим взамен этой безличной и незаинтересованной инстанции активного и злонамеренного противника. Очевидно, такой подход может быть продиктован только крайним пессимизмом в оценке обстановки - «всегда надо рассчитывать на худшее!» - но как один из возможных подходов заслуживает рассмотрения.

2. Критерий минимаксного риска Сэвиджа

Сущность этого критерия в том, чтобы любыми путями избежать большого риска при принятии решения.

Критерий Сэвиджа, так же как и критерий Вальда - это критерий крайнего пессимизма, но только пессимизм здесь понимается по-другому: худшим объявляется не минимальный выигрыш, а максимальная потеря выигрыша по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях (максимальный риск).

3. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица

Этот критерий рекомендует в условиях неопределенности при выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом (всегда рассчитывай на худшее!) ни крайним, легкомысленным оптимизмом (все обойдется наилучшим образом!) Критерий Гурвица имеет вид:

где - коэффициент, выбираемый между нулем и единицей.

Проанализируем структуру выражения (13.6). При критерий Гурвица превращается в пессимистический критерий Вальда, а при - в критерий «крайнего оптимизма», рекомендующий выбирать ту стратегию, для которой в наилучших условиях выигрыш максимален. При получается нечто среднее между крайним пессимизмом и крайним оптимизмом (коэффициент и выражает как бы «меру пессимизма» исследователя). Этот коэффициент выбирается из субъективных соображений - чем опаснее ситуация, чем больше мы хотим в ней «подстраховаться», тем ближе к единице выбирается и.

При желании можно построить критерий, аналогичный критерию оптимизма-пессимизма Гурвица исходя не из выигрыша, а из риска, как в критерии Сэвиджа, но мы на этом не будем останавливаться.

Несмотря на то, что выбор критерия, как и выбор параметра в критерии Гурвица, являются субъективным, все же может оказаться полезным просмотреть ситуацию с точки зрения этих критериев. Если рекомендации, вытекающие из различных критериев, совпадают - тем лучше, можно смело выбирать рекомендуемое ими решение. Если же, как это часто бывает, рекомендации противоречат друг другу - всегда имеет смысл задуматься над этим и принять окончательное решение с учетом его сильных и слабых сторон. Анализ матрицы игры с природой под углом зрения разных критериев часто дает лучшее представление о ситуации, о достоинствах и недостатках каждого решения, чем непосредственное рассмотрение матрицы, особенно, когда ее размеры велики.

Пример 2. Рассматривается игра с природой 4X3 с четырьмя стратегиями игрока: и тремя вариантами условий (состояний природы): Матрица выигрышей дана в табл. 13.2.

Таблица 13.2

Найти оптимальное решение (стратегию), пользуясь критериями Вальда, Сэвиджа и критерием Гурвица при

Решение. 1. Критерий Вальда.

В каждой строке матрицы берем наименьший выигрыш (табл. 13.3).

Из величин максимальная (отмечена звездочкой) равна 0,25, следовательно, по критерию Вальда оптимальной является стратегия

2. Критерий Сэвиджа.

Строим матрицу рисков и помещаем в правом добавочном столбце максимальный риск в каждой строке (табл. 13.4).

Минимальным из значений является 0,60 (отмечено звездочкой); следовательно, по критерию Сэвиджа, оптимальной является любая из стратегий

Таблица 13.3

3. Критерий Гурвица

Записываем в правых трех столбцах матрицы (табл. 13 5) «пессимистическую» оценку выигрыша «оптимистическую» а); и их среднее взвешенное по формуле (13.6):

Максимальное значение (отмечено звездочкой) соответствует стратегии Следовательно, по критерию Гурвица с легким перевесом в сторону пессимизма оптимальной стратегией является Таким образом, все три критерия согласно говорят в пользу стратегии которую мы имеем все основания выбрать.(минимум берется по всем Найти этот минимакс (или максимин в критерии Вальда) можно обычными методами линейного программирования. Могут быть случаи, когда применение смешанных стратегий при пользовании критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица даст преимущество по сравнению с тем решением, где применяются одни чистые стратегии, однако мы будем рассматривать эти критерии только для чистых стратегий.

Одна из причин этого - в том, что мы хотим избежать сложных вычислений, когда их результат может быть сведен на нет недостатком сведений о ситуации (незнание вероятностей условий). Другая, более важная причина - в том, что основное содержание теории статистических решений (мы коснемся его в следующем параграфе) - это планирование получения и использования дополнительной информации о состоянии природы, которую можно добыть путем эксперимента. Исследования показывают, что в типичных случаях, когда речь идет о получении сколько-нибудь значительного количества дополнительной информации, критерии, не пользующиеся вероятностями состояний (Вальда и др.), становятся практически равносильными критерию, основанному на вероятностях состояний. Но мы знаем, что при пользовании таким критерием применение смешанных стратегий не имеет смысла; стало быть, если мы можем получить сколько-нибудь много дополнительной информации, применение смешанных стратегий теряет смысл (каким бы из критериев выбора решения мы ни пользовались). Если же мы не можем, производя эксперименты, добывать новую информацию, то различные критерии могут давать противоречащие друг другу рекомендации, как мы видели в примере 3.

Краткая теория

Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под природой будем понимать совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений.

Управление любым объектом осуществляется путем принятия последовательности управленческих решений. Для принятия решения необходима информация (совокупность сведений о состоянии объекта управления и условиях его работы). В тех случаях когда отсутствует достаточно полная информация, возникает неопределенность в принятии решения. Причины этого могут быть различны: требующаяся для полного обоснования решения информация принципиально не может быть получена (неустранимая неопределенность); информация не может быть получена своевременно, к моменту принятия решения; затраты, связанные с получением информации, слишком высоки. По мере совершенствования средств сбора, передачи и обработки информации неопределенность управленческих решении будет уменьшаться. К этому нужно стремиться. Существование неустранимой неопределенности связано со случайным характером многих явлений. Например, в торговле, случайный характер изменения спроса делает невозможным его точное прогнозирование, a, следовательно, и формирование идеально точного заказа на поставку товара. Принятие решения в этом случае связано с риском. Приемка партии товара на основании выборочного контроля также связана с риском принятия решения в условиях неопределенности. Неопределенность может быть снята путем полного контроля всей партии, однако это может оказаться слишком дорогостоящим мероприятием. В сельском хозяйстве, например, с целью получения урожая человек предпринимает ряд действии (пашет землю, вносит удобрения, борется с сорняками и т. п.). Окончательный результат (урожай) зависит от действий не только человека, но и природы (дождь, засуха, вечер и т. п.). Из приведенных примеров видно, что полностью исключить неопределенность в управлении экономической системой нельзя, хотя, повторим, к этому нужно стремиться. В каждом конкретном случае следует принимать во внимание степень риска при принятии управленческих решений, по возможности максимально учитывать имеющуюся информацию с целью уменьшения неблагоприятных последствий, которые могут возникнуть из-за ошибочных решений.

Две стороны, участвующие в игре, будем называть игрок I и игрок II. Каждый из игроков располагает конечным набором действий (чистых стратегий), которые он может применять в процессе игры. Игра имеет повторяющийся, циклический характер. о каждом цикле игроки выбирают одну из своих стратегии, что однозначно определяет платеж . Интересы игроков противоположны. Игрок I старается вести игру так, чтобы платежи были как можно большими. Для игрока II желательны как можно меньшие значения платежей (с учетом знака). Причем в каждом цикле выигрыш одного из игроков в точности совпадает с проигрышем другого. Игры такого типа называются играми с нулевой суммой.

Решить игру - значит определить оптимальное поведение игроков. Решение игр является предметом теории игр. Оптимальное поведение игрока инвариантно относительно изменения всех элементов платежной матрицы на некоторую величину.

В общем случае определение оптимального поведения игроков связано с решением двойственной пары задач линейного программирования. В отдельных случаях могут быть использованы более простые методы. Часто платежную матрицу удается упростить путем удаления из нее строк и столбцов, соответствующих доминируемым стратегиям игроков, доминируемой называется стратегия, все платежи которой не лучше соответствующих платежей некоторой другой стратегии и хотя бы один из платежей хуже соответствующего платежа этой другой стратегии, называемой доминирующей.

В обычной стратегической игре принимают участие «разумные и антагонистические» противники (противоборствующие стороны). В таких играх каждая из сторон предпринимает именно те действия, которые наиболее выгодны ей и менее выгодны противнику. Однако очень часто неопределенность, сопровождающая некоторую операцию, не связана с сознательным противодействием противника, а зависит от некой, не известной игроку I объективной действительности (природы). Такого рода ситуации принято называть играми с природой. Игрок II - природа - в теории статистических игр не является разумным игроком, так как рассматривается как некая незаинтересованная инстанция, которая не выбирает для себя оптимальных стратегий. Возможные состояния природы (ее стратегии) реализуются случайным образом. В исследовании операций оперирующую сторону (игрока I) часто называют статистиком, а сами операции - играми статистика с природой или статистическими играми.

Рассмотрим игровую постановку задачи принятия решения в условиях неопределенности. Пусть оперирующей стороне необходимо выполнить операцию в недостаточно известной обстановке относительно состояний которой можно сделать предположений. Эти предположения будем рассматривать как стратегии природы. Оперирующая сторона в своем распоряжении имеет возможных стратегий - . Выигрыши игрока I при каждой паре стратегий и - предполагаются известными и заданы платежной матрицей .

Задача заключается в определении такой стратегии (чистой или смешанной), которая лри ее применении обеспечила бы оперирующей стороне наибольший выигрыш.

Выше уже говорилось, что хозяйственная деятельность человека может рассматриваться как игра с природой. Основной особенностью природы как игрока является ее не заинтересованность в выигрыше.

Анализ матрицы выигрышей игры с природой начинается с выявления и отбрасывания дублирующих и заведомо невыгодных стратегий лица, играющего с природой. Что касается стратегий природы, то ни одну из них отбросить нельзя, так как каждое из состояний природы может наступить случайным образом, независимо от действий игрока I. Ввиду того что природа не противодействует игроку I, может показаться, что игра с природой проще стратегической игры. На самом деле это не так. Противоположность интересов игроков в стратегической игре в некотором смысле как бы снимает неопределенность, чего нельзя сказать о статистической игре. Оперирующей стороне в игре с природой легче в том отношении, что она скорее.всего выиграет больше, чем в игре против сознательного противника. Однако ей труднее принять обоснованное решение, так как в игре с природой неопределенность ситуации сказывается в гораздо более сильной степени.

После упрощения платежной матрицы игры с природой целесообразно не только оценить выигрыш при той или иной игровой ситуации, но и определить разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянии природы и выигрышем, который будет получен при применении стратегии в тех же условиях. Эта разность в теории игр называется риском.

Природа меняет состояние стихийно, совершенно не заботясь о результате игры. В антагонистической игре мы предполагали, что игроки пользуются оптимальными (в определенном выше смысле) смешанными стратегиями. Можно предположить, что природа применяет наверняка не оптимальную стратегию. Тогда какую? Если бы существовал ответ на этот вопрос, то принятие решения лицом, принимающим решения (ЛПР) сводилось бы к детерминированной задаче.

Если вероятности состояний природы известны, то пользуются критерием Байеса, в соответствии с которым оптимальной считается чистая стратегия , при которой максимизируется средний выигрыш:

Критерий Байеса предполагает, что нам хотя и неизвестны условиях выполнения операций (состояния природы) , но известны их вероятности .

С помощью такого приема задача о выборе решения в условиях неопределенности превращается в задачу о выборе решения в условиях определенности, только принятое решение является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.

Если игроку представляются в равной мере правдоподобными все состояния природы, то иногда полагают и, учитывая, «принцип недостаточного основания» Лапласа, оптимальной считают чистую стратегию , обеспечивающую:

Если же смешанная стратегия природы неизвестна, то в зависимости от гипотезы о поведении природы можно предложить ряд подходов для обоснования выбора решения ЛПР. Свою оценку характера поведения природы будем характеризовать числом , которое можно связывать со степенью активного «противодействия» природы как игрока Значение соответствует наиболее пессимистичному отношению ЛПР в смысле «содействия» природы в достижении им наилучших хозяйственных результатов. Значение соответствует наибольшему оптимизму ЛПР. Как известно, в хозяйственной деятельности указанные крайности опасны. Скорее всего, целесообразно исходить из некоторого промежуточного значения . В этом случае используется критерий Гурвица, согласно которому наилучшим решением ЛПР является чистая стратегия , соответствующая условию:

Критерий Гурвица (критерий «оптимизма-пессимизма») позволяет руководствоваться при выборе рискового решения в условиях неопределенности некоторым средним результатом эффективности, находящимся в поле между значениями по критериям «максимакса» и «максимина» (поле между этими значениями связано посредством выпуклой линейной функции).

В случае крайнего пессимизма ЛПР указанный критерий называется критерием Вальда. Согласно этому критерию, наилучшей считается максиминная стратегия. Это критерий крайнего пессимизма. По этому критерию ЛПР выбирает ту стратегию, которая гарантирует в наихудших условиях максимальный выигрыш:

Такой выбор соответствует наиболее робкому поведению ЛПР, когда он предполагает наиболее, неблагоприятное поведение природы, боится больших потерь. Можно предположить, что он не получит больших выигрышей. Согласно критерию Сэвиджа, следует выбирать чистую стратегию соответствующую условию:

где риск .

Критерий Сэвиджа (критерий потерь от «минимакса») предполагает, что из всех возможных вариантов «матрицы решений» выбирается та альтернатива, которая минимизирует размеры максимальных потерь по каждому из возможных решений. При использовании этого критерия «матрица решения» преобразуется в «матрицу риска», в которой вместо значений эффективности проставляются размеры потерь при различных вариантах развития событий.

Недостатком критериев Вальда, Сэвиджа и Гурвица является субъективная оценка поведения природы. Хотя указанные критерии и дают некоторую логическую схему принятия решений, резонно все же задать вопрос: «А почему сразу не выбрать субъективное решение, вместо того чтобы иметь дело с разными критериями?» Несомненно, определение решения по различным критериям помогает ЛПР оценить принимаемое решение с различных позиций и избежать грубых ошибок в хозяйственной деятельности.

Пример решения задачи

Условие задачи

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

1. требуется профилактический ремонт;
2. требуется замена отдельных деталей и узлов;
3. требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

Требуется найти оптимальное решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

a

4

6

9

b

5

3

7

c

20

15

6

q

0.4

0.45

0.15

Решение задачи

Игра парная, статистическая. В игре участвуют 2 игрока: руководство предприятия и природа.

Под природой в данном случае понимаем совокупность внешних факторов, которые определяют состояние оборудования.

Стратегия руководства:

Отремонтировать оборудование своими силами

Вызвать бригаду специалистов

Заменить оборудование новым

Стратегия природы - 3 возможных состояния оборудования.

Требуется профилактический ремонт;

Следует заменить отдельные детали и узлы;

Требуется капитальный ремонт.

Расчет платежной матрицы и матрицы рисков

Поскольку элементы матрицы - затраты, то будем считать их выигрышными но со знаком минус. Платежная матрица:

-4

-6

-9

-9

-5

-3

-7

-7

-20

-15

-6

-20

0.4

0.45

0.15

Составляем матрицу рисков:

-4-(-20)=16

-6-(-15)=9

-9-(-9)=0

16

-5-(-20)=15

-3-(-15)=12

-7-(-9)=2

15

-20-(-20)=0

-15-(-15)=0

-6-(-9)=3

3

Критерий Байеса

Определяем средние выигрыши:

По критерию Байеса оптимальной является стратегия - вызвать бригаду специалистов

Критерий Лапласа

Определим средние выигрыши:

По критерию Вальда оптимальной является стратегия - вызвать бригаду специалистов

Критерий Сэвиджа

По критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия - заменить оборудование новым

Критерий Гурвица

По критерию Гурвица оптимальной является стратегия - вызвать бригаду специалистов

Ответ

По всем критериям, за исключением критерия Сэвиджа, оптимальной является стратегия «Вызвать бригаду специалистов». По критерию Сэвиджа, который минимизирует риски, оптимальной является стратегия «Заменить оборудование новым».